Каскадный · [ Стандарт ] · Линейный+ Математический клуб, 10+

[Soul]

Предлагаю немного поломать мозги.
И дети (возраст 12+) пусть поломают.
Задачки, которые я хочу для начала предложить, выдают в качестве домашнего задания 7класснику в одной Нью-Йоркской математической школе. Задачки простые и красивые, сложных решений и вычислений нет. Но среди тем есть и комбинаторика, и теория чисел, и теория вероятностей.

Ну что, начнём?

Задача 1.
Некто взял все целые числа от 1 до 12ти и разбил их на два равных множества, по 6 чисел в каждом.
Перемножил числа из первого множества (A*B*C*D*E*F), из второго (K*L*M*N*O*P), и разделили первое на второе, при этом результат R=(A*B*C*D*E*F)/(K*L*M*N*O*P) получился целым.
Какое самое маленькое число R может получиться?

Задача 2.
У Винни-Пуха есть 8 горшочков с мёдом, весом 1,2,...,8 кг; вес написан на горшках. Крошка Ру подщутил над Винни, и положил в один из горшков маааленький кусочек сыра весом в 1 кг.
У Винни есть в распоряжении весы, которые не показывают вес, но показывают равновесие.
Как за два взвешивания обнаружить палёный мёд?

[Soul]

Задача номер 3. Геометрия, площади треугольников.
От каждой вершины треугольника ABC отложены продолжения сторон такой же длины, как сами стороны. Во сколько раз площадь нового треугольника MNP будет больше площади ABC?

[+]

Картинка

[ закрыть ]

Отредактировано: Soul в 5 апр 2019, 16:21

[Помар-ка]

Я с медом сделала

[пузыринка]

Ответ на сообщение Помар-ка от 5 апр 2019, 16:38

Я с медом сделала

я - нет.

[Иванова Лена]

С медом стандартная задачка.

С числами предлагаю разложить на 2^10*3^5*5^2*7*11.
Тогда в знаменателе 2^5*3^2*5=5*3*2*6*8*1 (например) или 5*3*2*12*4*1.
А в числителе 2^5*3^3*5*7*11
Делим одно на другое, получаем 3*7*11=231
Мне так кажется.

[Иванова Лена]

По геометрии:
Начертим ВМ, СN, AP.
Воспользуемся тем, что площади треугольников равны, если равны их основания и высоты. Все 7 маленьких треугольников имеют равную площадь.

Следовательно, ответ: в 7 раз.

[Soul]

пузыринка, а если все горшки изначально одного веса?

[Soul]

Задача 4.
Докажите, что существуют 100 последовательных натуральных чисел, каждое из которых не является простым.

Задача 5.
Некая компания Boogle хочет в качестве логотипа раскрасить буквы своего названия в 4 цвета: красный, желтый, синий и зеленый.
Сколько есть вариантов таких логотипов, если каждый цвет обязательно должен встретиться хотя бы один раз?

[NathZh]

Soul, если одного, то все проще. Взвешивание три и три любых. Если один одинаковые, то два оставшихся.
Если разные, то из тяжёлой кучки два горшка

[Soul]

NathZh, Это подсказка для основной задачи для пузыринки. Хотя, может, она ее уже решила.

Отредактировано: Soul в 5 апр 2019, 20:38